domingo, 20 de setembro de 2015

A ARTE DE ENSINAR MATEMÁTICA

A necessidade do concreto

«(...) Anaxágoras afirma que são as mãos que tornam o homem o mais inteligente dos animais. (...)». (Simone Manon, Aristóteles. La main et l’intelligence.). Os dedos da mão, com as suas alavancas e a oponibilidade do polegar é o primeiro laboratório matemático. É a mão que ordena os objectos para a contagem, e os dedos, ordenados do mínimo ao polegar, constituem o primeiro ábaco de que vem já munido o ser humano. As generalizações aos dedos das duas mãos e aos pés concorrem para a primeira aprendizagem da contagem até 20, habilidade que a criança já traz para a Escola e que os pais, orgulhosamente, dizem à professora “— Já sabe contar!”. Porém, em muitos casos, este papaguear não corresponde a conhecimento e, quando se mandam contar cinco objectos concretos ou indicá-los numa série figurada, ela erra ou é incapaz de os indicar.
Piaget (VII, 103 ss.) estuda a génese da noção de número, isto é, a apreensão do número cardinal de um conjunto, determinando as três fases do seu desenvolvimento, grosso modo dos 4 aos 6 anos. O estudo é feito apresentando à criança séries de figuras semelhantes às do esquema e pedindo-lhe que as reproduza com os tentos que lhe são fornecidos.

Na 1ª fase a criança limita-se a uma comparação global, que traduz afirmando que a reprodução tem mais, tem menos ou a mesma coisa (ou quantidade) do modelo; na 2ª fase sente a necessidade de uma avaliação precisa e, consequentemente, de estabelecer uma correspondência termo-a-termo, mas sem conservação quando os tentos da sua reprodução são deformados, alongando ou condensando a sua disposição; finalmente, na 3ª fase, cerca dos 6 anos, a criança estabelece uma correspondência precisa que confirma como “ é a mesma coisa”, quaisquer que sejam as modificações da construção, desde que se mantenha constante o número de tentos.

A necessidade da palavra

Há três factores indispensáveis na aprendizagem da matemática: o professor que ministra e orienta o ensino, o livro que expõe ordenadamente o conteúdo do conhecimento com os exercícios de aplicação e o material didáctico, os objectos concretos que têm de estar forçosamente na origem e no termo de qualquer aprendizagem.


A tarefa fundamental do professor de matemática é o diálogo com o aluno, que consiste em conduzir-lhe o pensamento num vaivém do concreto ao abstracto e do abstracto ao concreto. Em lógica a palavra «abstracção» consiste em suprimir as propriedades singulares dos casos particulares e seleccionar as qualidades comuns que permitem classificá-los na mesma classe permanente e geral. Assim se distinguem o homem, o cão, o gato, ..., na classe dos mamíferos por se alimentarem de leite nos primeiros tempos da sua vida, respirarem por pulmões e terem o corpo coberto de pelos. Em terminologia psicológica, é preferível usar o termo desconcretizar, que caracteriza um processo mais amplo que a abstracção, em que se vai progressivamente superar o concreto em formas mais abstractas de pensamento (Stern, 362).
Esta desconcretização ascende do concreto ao conceito para formar o conceito de número, o conceito de relação, o conceito de operação, ..., como mediadores entre o pensamento e o seu objecto. A ideia distingue-se do conceito por constituir ela mesmo o seu objecto, como sucede com a Verdade, o Bem, o Belo, ..., diz-se também que o conceito apela ao particular e concreto e a ideia ao universal e abstracto.
A psicologia genética (psicogénese) estuda o desenvolvimento dos conceitos na criança, tarefa fundamental da matemática nas suas progressivas etapas de desenvolvimento das noções de relação, operação, número, etc.:


As investigações de Leonid Sakarov (On methods for investigating concepts) sob orientação de Vigotski, analisam os métodos de investigação na formação de conceitos pela criança, admitindo a necessidade de uma dupla estimulação — o objecto e a palavra — em que «um conceito nasce somente se as operações psicológicas da criança, dirigidas para objectos, são guiadas por palavras, isto é, se a criança usa palavras como meio para guiar o processo de abstracção do objecto ao conceito. Palavras sem material sensorial, ou material sensorial sem palavras são métodos insuficientes na tarefa da formação de conceitos pela criança, a linguagem é indispensável para a formação de conceitos.
Mas, mexer com os dedos, implica a existência de material didáctico apropriado ao assunto a estudar — a contagem, as operações aritméticas, as fracções, ...— como coadjuvante indispensável  na aprendizagem da matemática; já que o livro por si só, por mais bem elaborado que esteja, é uma ferramenta incompleta na aquisição do conhecimento.
A matemática, como ciência que não se confina na realidade concreta, tem de libertar-se dela para atingir verdadeiramente a sua essência — a realidade abstracta. A manipulação de objectos concretos como introdução à apreensão de um conceito ou uma propriedade matemática tem sempre a intenção ou o propósito de transpor, efectuar um transfer para um modelo ou relação, uma passagem do particular ao geral, da espécie ao género. O pensamento movimenta-se na esfera abstracta.
Madame Herbinière utilizou modelos de transição entre objectos concretos e a representação figurativa dos números até 10, num nível de abstracção do concreto  à representação algorítmica — os algarismos da escrita decimal:

Prosseguindo no nível de abstracção, podem utilizar-se cartões numéricos:


e, passando então aos algarismos escritos, outra forma de concretização:


Os dez algarismos, de 0 a 9, constituem um padrão que se repete indefinidamente e justifica a designação “Sistema de numeração decimal”.


Nos esquemas algébricos,

 a + b = c,      m– n =p,      x × y = z,      d : e = f, 

modelos ou padrões representativos das quatro operações aritméticas, os números são representados pelas letras do alfabeto, como acontecia na Grécia antiga:

Devlin (2004) considera 4 níveis de abstracção na formação do conceito de número:

1º Nível: não há abstracção: o pensamento de objectos está inteiramente fundido na percepção sensorial de objectos reais (Stern,  p. 381); 
2º nível: o pensamento de um objecto individual e concreto ausente na percepção sensorial, mas apoiado na memória: o pai, um objecto que se procura, ...
3º nível: pensamento de objectos reais ou imaginários; ex.: oliveiras, o unicórnio, ...
4º nível: objectos inteiramente abstractos, sem ligação directa ao mundo real, como ocorrem no pensamento matemático; exemplos: os pensamentos de número (Stern, 368, 365), de relações, de significados etc.


Fases da aprendizagem.

É do senso comum saber que o manuseamento de qualquer ferramenta necessita de um período de  aprendizagem sensorial que relaciona diferentes apoios perceptivos — os olhos, os dedos, o ouvido, a palavra ... 
Gaston Mialaret(1) distingue seis aspectos ou «etapas principais pelas quais a criança deve passar para assegurar a construção sólida das bases matemáticas».

(1) M. Debesse & G. Mialaret. Traité des Sciences Pèdagogiques, P.U.F., 1974, Vol. 5, p. 230 ss. G. Mialaret, Aprendizagem da Matemática, Almedina, 1975, p. 40 ss.

Considere-se este problema simples: “Tenho três berlindes; com quantos vou ficar se o meu avô me der os dois que me prometeu?”
1ª etapa (Acção realizada de facto): A criança tem três berlindes numa das mãos e dois na outra; resolve em concreto o problema juntando-os. Diz Mialaret: «É indispensável que a criança manipule, manipule sempre. (...) Se se pretende que, mais tarde, a criança possa reflectir, isto é, possa representar [mentalmente] as operações envolvidas num problema, é necessário (...) que ela tenha antes de mais, feito e refeito concretamente as operações que deve representar», as vezes necessárias à sua reprodução por memória. Embora na adição a manipulação seja de intuição necessariamente curta, devendo passar-se imediatamente à fase descritiva, o mesmo não sucede na divisão, designadamente na divisão com resto, em que a denominação dos objectos a distribuir (dividendo) e distribuídos (cociente), o número de grupos formados (divisor) e de objectos sobrantes (resto) são mais dificilmente retidos na memória infantil.

Porém, a fase manipulatória nunca deve ser nem omitida nem desacompanhada da linguagem adequada. É muito importante compreender que não se deve passar imediatamente da acção à escrita da expressão 3 + 2 = 5, pela simples razão de que, para saber escrever correctamente, é necessário primeiro saber falar. Embora neste caso fosse, para muitos, quase desnecessário descrever a acção, é exactamente a partir da descrição destas situações simples que se vai adquirindo a linguagem matemática que permitirá o tratamento mental mais ágil de problemas complexos. É da conquista da linguagem que tratam as etapas imediatas.

2ª etapa: (Acção acompanhada de descrição) A criança dirá, descrevendo a acção, esta ou outra expressão equivalente: “Tenho três berlindes numa mão e dois na outra; coloco todos na mesma mão, isto é, reúno-os; tenho agora, cinco berlindes numa das mãos; é o resultado da reunião”.

Mialaret insiste na «importância destes exercícios que asseguram uma ligação muito sólida entre vários aspectos do pensamento matemático nascente»: a manipulação e o esboço de uma linguagem que pode já designar-se por linguagem matemática. Apela em seguida para que o «educador ou os pais, se encham de paciência e de coragem para repetir os diferentes exercícios sob formas variadas a fim de se assegurarem solidamente as ligações atrás indicadas»

3ª etapa: (Descrição não acompanhada da acção) Pierre Janet designou por condução da narração esta capacidade de descrever uma acção sem, simultaneamente, a executar. Esta descrição pode ser realizada na presença do objecto e acompanhada por gestos que substituam a acção. É interessante verificar que, neste sentido, há pessoas que são incapazes de narrar um acontecimento sem o simularem gestualmente. O gesto, que muitas vezes embeleza, enriquece e pontua o discurso como a batuta rege a execução musical, serve frequentemente de bengala à incapacidade de um discurso lógico e fluido. Embora o gesto possa substituir a linguagem e tornar presente o objecto, podendo, como diz Wallon, «estabelecer analogias dificilmente formuláveis de outro modo», a substituição total e compreensiva da acção pela linguagem é com frequência um exercício difícil mas sempre enriquecedor. Neste caso a criança poderia dizer: «Juntando três berlindes com dois berlindes obtêm-se cinco berlindes».

4ª etapa: (Tradução diferida da realidade) Sendo a linguagem matemática uma tradução exacta e simbólica de uma acção ou de uma relação, esta etapa descritiva traduz a transposição da operação para um plano mais elevado e próximo do pensamento matemático. Ao dizer: «Juntando três berlindes com dois berlindes obtenho cinco berlindes», a criança está já a traduzir de forma abstracta o resultado daquela operação concreta. Esta ascensão pode auxiliar-se com o uso de material não-figurativo, mas ele deve suprimir-se logo que, entendida a linguagem, a criança passa a enunciar a acção na ausência de qualquer representação concreta.

Do figurativo ao não-figurativo há toda uma escala de representações, que vão do concreto ao esquema, ao símbolo, ao sinal, passando da percepção ao simplesmente imaginado, correlativo do real ao fantasiado. Um conceito abstracto, uma relação podem representar-se por um esquema, um sinal, uma expressão não-figurativa, como o x que simboliza a incógnita; a álgebra substitui a aritmética dos números pela operatória das letras.
Acrescenta Mialaret: «Sabemos que a tentação de ir depressa é grande, para os educadores e para os pais, passando imediatamente ao uso do material referido, que representa tão claramente ao adulto o que pretendemos explicar à criança; mas é necessário resistir se queremos que a linguagem matemática tenha algum significado para a criança e se se pretende construir com ela este edifício que deve mergulhar todas as suas raízes numa experiência real do jovem aluno.»

5ª etapa: (Tradução gráfica) «Se prosseguirmos neste caminho da esquematização progressiva, da abstracção crescente, vamos fazer traduzir todas as situações vividas pela criança numa outra linguagem: a do grafismo». Propondo à criança a representação simplificada da situação já descrita em linguagem matemática, sugerimos uma figuração analógica, que irá ajudá-la a organizar e esquematizar qualquer situação problemática que se lhe apresente. Esta linguagem gráfica pode ir de um desenho mais concreto à elaboração de esquemas com fichas coloridas, peças de madeira (Cuisenaire), etc. No caso do problema inicialmente proposto, a criança, com auxílio do pai ou do professor, poderia efectuar no seu caderno quadriculado o seguinte esquema simples:
Nesta fase, como se indica no esquema da página 1, a criança deve regressar à situação concreta inicial, repetindo os passos que conduziram à sua tradução simplificada. Esclarece Mialaret que «Este duplo movimento dialéctico, como diriam os platónicos, é essencial e, infelizmente, muitas vezes descurado. Este vaivém do pensamento é fundamental na formação matemática e, desde esta idade, é preciso provocá-lo. A criança aprende, portanto, a exprimir e a traduzir as acções que faz, mas, inversamente, desenvolve-se nela uma certa forma de imaginação matemática (...); asseguram-se, ao mesmo tempo, as relações entre os diferentes planos da realidade e do pensamento.»
«Não é exagerado dizer que muitas inadaptações matemáticas, devidas a uma falta de interesse, têm aqui a sua origem, porque a criança — e mais tarde o adolescente — não reconhecem nunca os laços que existem entre o ensino formal e a realidade; crêem que a Matemática consiste em falar, em língua hermética, de coisas que não lhes dizem respeito.»

6ª etapa: «Quando os níveis descritos anteriormente estão solidamente assegurados, é então possível passar à última fase, à tradução simbólica da operação: 3 + 2 = 5». 
Quando a criança fracassa neste nível inicial, é pela cuidadosa análise destas sucessivas etapas

que se descobre a origem do fracasso, reiniciando o processo com exercícios muito simples e suficientemente numerosos até que seja capaz de percorrer sozinha as sucessivas fases do processo de matematização de acções reais, como compras no supermercado, adição de percursos, etc. O ensino das operações deve acontecer sempre na sequência de um problema concreto; é por esta via e não a inversa que se pode atribuir um sentido às operações aritméticas.

Sistema de numeração decimal

O sistema de numeração decimal com as suas ordens, classes e valores de posição é o fundamento de toda a Aritmética; a sua compreensão deve acompanhar a contagem e a aprendizagem das quatro operações, sendo acessível à maioria das crianças entre os cinco e os seis anos de idade, se for convenientemente ensinado. Apresentamos um modelo ou proposta didáctica que visa possibilitar uma aprendizagem individualizada, pelos pais ou outros familiares, preparando as crianças para um ingresso mais seguro e confiante na instituição escolar, ao mesmo tempo que, colaborando na sua educação, se estabeleça com elas, no lar, uma relação construtiva.
O professor tem a sua tarefa facilitada quando os alunos dispõem do mesmo material, de modo que pode orientar a manipulação, observar e dialogar com todos sobre objectos que vêem, em que mexem e, ao mesmo tempo que lhes associam as palavras e números adequados. É no decurso das primeiras aprendizagens que surgem as dificuldades da criança e as oportunidades de uma correcção e ensino mais profícuos. A atitude do «deixa andar que têm tempo de aprender», vai cristalizar os erros, criando hábitos defeituosos, difíceis ou mesmo impossíveis de corrigir: «A criança pega correctamente no lápis?»; «É destra ou esquerdina?»; «A posição da mão sobre o papel é adequada?»; «Dobra o pulso?»; «Como se dobram sem machucar as folhas do caderno e do livro?»; «Como se segura o papel e se usa a borracha?»; «E as exigências de limpeza e os cuidados a ter com o material escolar?»; etc., etc. É necessário não só detectar os defeitos e a lateralidade, mas orientar e corrigir. A maior parte destas acções começam bem antes do pré-escolar.

Que atenção prestou entretanto a família às actividades da criança? Esteve atenta? Observou? Corrigiu? Ou, simplesmente, deixou-a brincar com os bonecos e os brinquedos que lhe foi dando para que se entretivesse sozinha sem a maçar muito? Ou pô-la simplesmente à frente da televisão? As brincadeiras infantis estão para a criança como o trabalho está para o homem; representam o seu pleno esforço para aprender a ser um autêntico humano. Partilhar as suas brincadeiras é a oportunidade que os pais, os avós, os irmãos mais velhos têm de ajudá-la a aprender e a crescer. Na presença de uma criança devem redobrar os cuidados com uma boa dicção, a qualidade da linguagem e a correcção das atitudes, pois ela tudo observa e tudo fixa.

A detecção precoce dos disléxicos é outra preocupação dos professores conscientes e respeitadores dos seus alunos A turma é o seu campo de investigação; a observação atenta dos comportamentos, dos mais subtis aos mais ostensivos, o registo de cada pormenor significativo na folha do aluno é verdadeira tarefa de investigador; o esclarecimento dos dados recolhidos na aula é posteriormente meditado e investigado na literatura psicopedagógica — é a fase das hipóteses, da preparação da aula imediata, das medidas e atitudes a tomar para vencer as resistências e dificuldades detectadas. Justifica-se um contacto com os pais?, com outros colegas?, com a direcção da escola? Nas aulas seguintes experimentam-se as soluções previstas e todo este ciclo se renova e reorienta na tarefa nobilíssima de educar.
O verdadeiro professor é avesso à rotina, as suas aulas, mesmo versando idênticos assuntos, são sempre diferentes — variando e aperfeiçoando os métodos e as didácticas. Não há alunos iguais, e aulas participadas com alunos diferentes são forçosamente diferentes.

A CONTAGEM

É no segundo ano de vida que a oralidade avança francamente, mas a aprendizagem dos numerais progride com lentidão, uma vez que, a partir de dois ou três objectos, abarcados visualmente com facilidade, até ao número vinte, a criança tem de decorar vinte novos vocábulos que não associa a qualquer pessoa ou coisa fácil de identificar, mas ao resultado da operação de contagem dos objectos presentes, noção abstracta, que já não pode ver nem apalpar, e só após os 5½. ou 6 anos começa verdadeiramente consolidar-se. 
Disponha-se, para iniciar a aprendizagem, de uma colecção de objectos iguais que possam unir-se facilmente, por exemplo, palhinhas de plástico para sorver líquidos, cortadas ao meio (ou semelhantes), de uma colecção de cartões com os números inscritos, de uma caixa de cartão onde caibam os objectos, que designaremos por caixa das unidades, e de elásticos. Justifica-se a escolha das palhinhas por serem pouco dispendiosas, fáceis de manipular e unir em molhos de dez e até em molhos de dez dezenas.

De um a dez a representação algorítmica dos números como as suas designações são diferentes e exigem um esforço individual de memorização:

De onze a vinte acrescenta-se na representação algorítmica dos números o algarismo 1, sendo as designações  diferentes mas muito fáceis de fixar e já conhecidas da criança:

É depois de vinte que pode iniciar-se aprendizagem compreensiva e sistemática da numeração decimal, associando ao termo vinte da dezena os sucessivos numerais, de um a nove. A começar em trinta, o nome das dezenas relaciona-se com os numerais até nove e, com alguma repetição, a contagem torna-se intuitiva: três dá trinta, quatro dá quarenta, cinco dá cinquenta, seis dá sessenta, sete dá setenta, oito dá oitenta, nove dá noventa. Convém conjugar a linguagem com a escrita dos números e dos numerais a partir do número um.
Os cartões numéricos representam o valor próprio e o valor de posição, adaptando-se bem ao esquema figurativo da numeração. Obtém-se o número 357 sobrepondo os cartões e ao cartão :
Os cartões asseguram o valor e a posição dos algarismos no número e a fácil transformação numa soma. O questionário seguinte elucida o partido que pode tirar-se da sua manipulação:
P – Qual é o algarismo das centenas?
 R – 
P – Quantas dezenas vale o algarismo das centenas?
R – 
P – Quantas unidades vale o algarismo das centenas?
R – 
P – Qual é o algarismo das dezenas?
R – 
P – Quantas unidades vale o algarismo das dezenas?
R – 
P – Quantas dezenas tem o número?
R – 

O MÉTODO DO ENFEIXAMENTO

Inicia-se a contagem com objectos que possam ser manuseados — feijões, bastonetes, ... — passando em seguida ao esquema e à representação algorítmica dos números..
No primeiro dia propõe-se representar a quantidade que corresponde a uma palhinha:
—Esta palhinha, quanto é? Se hesitar em responder ‘um’, esclarece-se:
—É um, ou uma unidade, ou uma unidade simples, é uma coisa só.
Na contagem com bastonetes, pode consultar-se na net o endereço Counting Bundles of Sticks, produced by the Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South Florida. Acrescentámos aos bastonetes utilizados na contagem o ábaco horizontal com as três gavetas (centenas – dezenas– unidades) que utiliza com vantagem este método. Em cada gaveta não pode depositar-se mais de 9 bastonetes ou feixes, transitando, por adição de mais um, para a gaveta à sua esquerda. A figura mostra a passagem à dezena e o uso vantajoso dos cartões numéricos, à medida que se avança na contagem, de modo a consolidar o valor de posição. Um bastonete na caixa das dezenas vale 10 unidades e na caixa das centenas 100 unidades. Os cartões em correspondência algorítmica com as caixas ilustram o valor de posição.

(a continuar)